有效质量m求解及a×(b×c)求解

有效质量m求解及a×(b×c)求解

有效质量m求解

今天上半导体物理课程时,忘记了有效质量的推导过程,主要是除一个凑牛顿第二定理表达式那一步忘记了,回看固体物理笔记复习后做此记录,与大家分享。

符号说明

为约化普朗克常数

f为载流子所受所有外力的合力

P为载流子动量

首先我们需要给出牛顿第二定律的原始(非常见)形式:

载流子速度v可表示为:

则加速度a可表示为:

注意到dkdt我们是不知道怎么直接处理的,因此我们将其转化为dkdt,然后就可以利用牛顿第二定律来进行转化了:

因此将a除到右侧,将f的系数除到左侧得:

注意到fa表示的是载流子所受到的所有外力,且a表示的是载流子的加速度,因此有:

实际中常根据回旋共振实验测定m,同时根据固体物理理论,产生电流的载流子主要是导带底和价带顶的电子,因此利用下式:

故可通过实验测定有效值量进而得到半导体中的能带E(k)


a×(b×c)的化简求解

这个公式在电磁场与电磁波课程中用到时没记住展开后的式子,上网查到了有些大佬给出的流氓证明,非常好用,与大家分享。

首先b×c得到的向量方向为bc所构成的平面的法向量方向。

所以a×(b×c)得到的向量平行于bc所构成的平面,故有下式:

同时利用向量的叉乘关系:

因为存在垂直关系可以得到二者的点乘为0,并将式(9)的左侧利用式(8)进行代换得到:

很自然地mn取如下式所示的值:

所以:

因为k的值应与向量a、b、c的取值无关,所以我们可以任意取一组好算的a,b,c求解出k即可。

若取

代入解得k=1,所以得: