有效质量$m^{\ast}$求解及$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$求解

有效质量$m^{\ast}$求解

今天上半导体物理课程时，忘记了有效质量的推导过程，主要是除一个$\hbar$凑牛顿第二定理表达式那一步忘记了，回看固体物理笔记复习后做此记录，与大家分享。

符号说明

$\hbar$为约化普朗克常数

$f$为载流子所受所有外力的合力

$P$为载流子动量

首先我们需要给出牛顿第二定律的原始(非常见)形式：
$$\begin{align*}
f &= \frac{dP}{dt} \
P&= \hbar k
\end{align*}$$

载流子速度$v$可表示为:
$$\begin{align*}
v &= \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}
\end{align*}$$

则加速度$a$可表示为:
$$\begin{align*}
a &= \frac{dv}{dt} \notag\
&=\frac{1}{\hbar} \frac{1}{dt} (\frac{dE}{dk} ) \notag\
&=\frac{1}{\hbar} \frac{d^{2}E}{dk{2}} \cdot \frac{dk}{dt} \notag
\end{align*}$$

注意到$\frac{dk}{dt}$我们是不知道怎么直接处理的，因此我们将其转化为$\frac{d\hbar k}{dt}$，然后就可以利用牛顿第二定律来进行转化了:
$$\begin{align*}
a &= \frac{1}{\hbar^{2}} \frac{d^{2}E}{dt{2}} \cdot \frac{d\hbar k}{dt} \notag\
&= \frac{1}{\hbar^{2}} \frac{d^{2}E}{dk{2}} \cdot f
\end{align*}$$

因此将$a$除到右侧，将$f$的系数除到左侧得:
$$\begin{align*}
\frac{f}{a} = \frac{\hbar^{2}}{\frac{d{2}E}{dkt^{2}}}
\end{align*}$$

注意到$\frac{f}{a}$表示的是载流子所受到的所有外力，且$a$表示的是载流子的加速度，因此有:
$$\begin{align*}
m^{\ast} &= \frac{f}{a} = \frac{\hbar^{2}}{\frac{d{2}E}{dk^{2}}}
\end{align*}$$

实际中常根据回旋共振实验测定$m^{\ast}$，同时根据固体物理理论，产生电流的载流子主要是导带底和价带顶的电子，因此利用下式:
$$\begin{align*}
E(k) - E(0) = \frac{\hbar^{2} k^{2}}{2m_{n}{\ast}}
\end{align*}$$

故可通过实验测定有效值量进而得到半导体中的能带$E(k)$。

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$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$的化简求解

这个公式在电磁场与电磁波课程中用到时没记住展开后的式子，上网查到了有些大佬给出的流氓证明，非常好用，与大家分享。

首先$\vec{b}\times\vec{c}$得到的向量方向为$\vec{b}$、$\vec{c}$所构成的平面的法向量方向。

所以$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$得到的向量平行于$\vec{b}$、$\vec{c}$所构成的平面，故有下式:
$$\begin{align*}
\vec{s} = \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = m\vec{b} + n \vec{c}
\end{align*}$$

同时利用向量的叉乘关系:
$$\begin{align*}
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) \perp \vec{a}
\end{align*}$$

因为存在垂直关系可以得到二者的点乘为0，并将式(9)的左侧利用式(8)进行代换得到:
$$\begin{align*}
(m\vec{b} + n \vec{c}) \cdot \vec{a} &= 0 \
\Rightarrow m \vec{b} \cdot \vec{a} + n \vec{c} \cdot \vec{a} &=0
\end{align*}$$

很自然地对$m$，$n$取如下式所示的值:
$$\begin{aligned}
m&= -\vec{c} \cdot \vec{a} & \
n&= \vec{b} \cdot \vec{a} &
\end{aligned}$$

所以:
$$\begin{align*}
\vec{s} = k \left[ (-\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} + (-\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} \right]
\end{align*}$$

因为$k$的值应与向量a、b、c的取值无关，所以我们可以任意取一组好算的$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$求解出$k$即可。

若取
$$\begin{aligned}
\vec{a}&= \left[1,0,0\right] & \
\vec{b}&= \left[0,1,0\right] & \
\vec{c}&= \left[1,0,0\right] &
\end{aligned}$$

代入解得$k=-1$，所以得:
$$\begin{align*}
\vec{s} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}
\end{align*}$$