氢原子模型和类氢原子模型

灵感来自半导体物理课程的课后题，发现推不出来表达式，上网查阅资料后做此记录，与大家分享。

氢原子模型

基于量子力学的理论，我们根据玻尔三大假设书写方程。

• 定态假设：原子系统只能处于一系列不连续的分立的能量状态 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 、 $E_{3}$ ……，在这些状态下，电子虽做加速运动，但不向外辐射能量，称这样的状态为定态。
• 跃迁假设：电子从 $E_{m}$ 能级跃迁到 $E_{n}$ 能级所需的能量满足 $h\nu=E_{n}-E_{m}$ 。
• 轨道角动量量子化假设：在氢原子中，电子轨道需满足 $2\pi r\cdot m_{e} v = n h$ ，即电子只能在轨道角动量等于约化普朗克常数 $\hbar$ 的整数倍的轨道上运动。

故根据轨道角动量量子化假设和圆周运动的向心力等于库仑力列写如下方程：

$$\begin{align*} &m v r = n \frac{h}{2\pi} \\ &m\frac{v^{2}}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r^{2}} \end{align*}$$

联立得:

$$\begin{align*} r_{n} = \frac{\epsilon_{0}h^{2}}{\pi m e^{2}} n^{2} \end{align*}$$

考虑电子的总能量为动能与势能之和：

$$\begin{align*} E_{n} &= E_{k,n} + E_{p,n} \\ &= \frac{1}{2}mv^{2} + -(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r})\\ &= -\frac{1}{2}mv^{2} \end{align*}$$

化简得:

$$\begin{align*} E_{n} = -\frac{me^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}} \end{align*}$$

类氢原子模型

考虑如下两条修正:

• 考虑晶体内的杂质原子，即正负电荷处在介电常数 $\epsilon=\epsilon_{0}\epsilon_{r}$ 的介质中。
• 考虑电子并非自由电子，而是运动在晶格周期性势场当中，故将电子的惯性质量 $m_{0}$ 用有效质量 $m^{\ast}$ 替代。

即得:

$$\begin{align*} r_{n} &= \frac{\epsilon_{0}\epsilon_{r}h^{2}}{\pi m^{\ast} e^{2}} n^{2} \\ E_{n} &= -\frac{m^{\ast} e^{4}}{8 (\epsilon_{0}\epsilon_{r})^{2} h^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}} \end{align*}$$

当$n=1$时为基态，此时

$$\begin{align*} r_{0} &= 0.053nm \\ E_{0} &= 13.6eV \end{align*}$$

则进一步化简得:

$$\begin{align*} r_{n} &= \frac{m^{\ast}}{m_{0}} \cdot \frac{E_{0}}{\epsilon_{r}^{2}} \\ \triangle E_{n} &= \frac{m^{0}}{m_{\ast}} \epsilon_{r} r_{0} \end{align*}$$

其中E为电子的基态能量，r为电子的基态轨道半径。